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Proposition :
Soit "E" un ensemble quelconque, "f" et "g" deux applications de formula_44 et "n" un entier relatif. Les applications "f"+"g", "f"."g" et "n"."f" définies par
appartiennent à formula_44.
Théorème :
Soit "E" un ensemble quelconque. L'application formula_49 qui à une partie "A" de "E" associe l'application caractéristique de "A" est bijective de formula_50 dans formula_51.
Corollaire :
Deux parties "A" et "B" de "E" sont égales si et seulement si leurs applications caractéristiques sont égales.
Propriétés :
Soient "A" et "B" deux parties d'une ensemble quelconque "E". Nous avons les égalités suivantes :



Analyse

Ces pages ont pour but de présenter à des étudiants du niveau du baccalauréat l'analyse, une branche des mathématiques.
Cet ouvrage est encore en chantier, et vous êtes libre de modifier son contenu, ou d'apporter votre contribution.
Table des matières.
Introduction.
L'analyse c'est l'étude des fonctions des équations des applications et de leur proprietes. Mais c'est principalement l’étude des fonctions.



Analyse/Introduction

Qu'est-que l'analyse?
L'analyse est une branche des mathématiques étudiant principalement les fonctions.
Prenons l'exemple d'une voiture équipée d'un chronotachygraphe.
Enregistrant sur un disque, à intervalles réguliers, les positions et la vitesse de déplacement de la voiture, ce compteur est utilisé aux fins de gestion d'une entreprise de transport.
Nous étudions l'enregistrement obtenu au bureau, mais cette fois l'appareil n'a pas bien fonctionné, et il manque le relevé des positions.
Dans ce cas, l'analyse de la vitesse du véhicule nous sera utile.
Si la voiture roulait à une vitesse constante, alors déterminer la position de la voiture à partir de la vitesse serait un simple problème algébrique.
Cependant, tous les automobilistes ne roulent pas à vitesse constante, et la vitesse peut changer instantanément.
L'algèbre ordinaire ne permet pas de répondre à la question, tandis que l'analyse le permet.
En effet, nous pouvons utiliser une fonction qui indique la position de la voiture au cours du temps, et une fonction qui renseigne sur la vitesse de la voiture à chaque instant. Posons nous la question suivante :
Il y a deux ramifications importantes de l'analyse, le calcul différentiel et le calcul intégral.
Le calcul différentiel se propose de trouver des pentes de courbes représentatives des fonctions.
Il s'agit de caractériser ces pentes en calculant une fonction dite "dérivée".
Notamment étudiées par Newton et Leibnitz au 18ème siècle, les fonctions dérivées ont été utilisées bien plus tôt en Asie.
Dans le cas où l'enregistrement de la vitesse ait été défectueux, nous aurions pu découvrir la vitesse "instantanée" du véhicule (enregistrée à l'instant t) en étudiant l'évolution de ses positions.
En revanche, schématiquement, le calcul intégral procède dans l'autre direction : de la vitesse à la position de la voiture de notre exemple.
Il permet, en étudiant les variations de vitesse, de connaître l'évolution de la distance parcourue - c'est à dire de connaître les différentes positions de la voiture au cours du temps.
C'est ainsi que le calcul intégral permet, et c'est un rôle fondamental, de mesurer des grandeurs indirectement (la distance parcourue, dans notre exemple).



Latin





Algèbre linéaire





Latin/Notions préliminaires

Origine et histoire du latin.
Le latin fait partie des langues italiques, groupe intégré dans la grande famille des langues indo-européennes.
Il est à l'origine une des langues parlées en Italie, dans la région du Latium. Les premières inscriptions en latin archaïque datent du VIe siècle av. J.-C. avec l'inscription de Duenos, mais les premiers auteurs connus datent du IIIe siècle av. J.-C.. La période classique est le Ier siècle av. J.-C. et les derniers grands auteurs romains datent du Ve siècle, la chute de Rome étant datée de 476.
Suit alors la période du latin vulgaire, puis le latin médiéval utilisé en particulier par l'Église. Jusqu'au XVIIe siècle, le latin est utilisé comme langue scientifique pour les traités, thèses, etc..
Depuis le latin reste utilisé dans quelques domaines scientifiques, comme la classification des espèces en biologie, ainsi que par le Vatican dont le latin est une langue officielle. Le latin est toujours parlé par quelques personnes (voir par exemple Vicipædia) et un vocabulaire est créé pour les nouveaux mots, par exemple "Computatrum" pour "Ordinateur". Des revues et bandes dessinées existent également en latin.
Alphabet du latin.
Le latin s'écrit globalement avec les mêmes lettres que le français, étant son ancêtre. Il est lui-même issu de l'alphabet grec via les Étrusques. Le latin archaïque comptait 20 lettres et la graphie normale était en majuscules.
À noter également que les lettres J et U (« ramistes » car proposées par Pierre de La Ramée, latinisé en Petrus Ramus, dans sa « Gramere » de 1562) ont été introduites tardivement, au XVIe siècle. Elles permettent de distinguer dans la graphie respectivement les voyelles I et U (prononcé « ou ») des semi-consomnes J et V (prononcé comme le « w » anglo-saxon). Toutefois leur usage n'a jamais été universel, et il semblerait qu'on revienne depuis quelques années aux graphies anciennes par souci d'authenticité.
La lettre K est aussi ancienne que les autres, en revanche le W est postérieur à l'Antiquité.
Prononciation.
En latin, toutes les lettres se prononcent (sauf le "h"). Mais il existe trois manières de prononcer le latin :
Les diphtongues : "au, eu, ae, oe" se prononcent respectivement "aou, éou, aé, oé". Les ligatures æ et œ étaient appliquées avant le retour moderne à la graphie antique, en particulier dans les éditions françaises, mais n'ont jamais été d'usage universel.



Latin/Leçon 1

L'indicatif présent de "sum".
Le verbe sum, "je suis", est tout autant employé en latin que le verbe être en français (mais possède quelques emplois différents) :
La conjugaison de ce verbe est irrégulière.
L'indicatif présent de sum se forme sur le radical es-, altéré à certaines personnes.
Notes :
Désinences personnelles de l'actif.
Tous les verbes latins à la voix active prennent les désinences :
Forme négative du verbe.
Pour conjuguer un verbe latin à la forme négative, on le fait précéder d'un mot négatif : non.



Latin/Leçon 2

= Les déclinaisons =
Le latin est une langue "flexionnelle", comme par exemple l'allemand ou le russe : pour différencier les différentes fonctions d'un mot (sujet, complément d'objet, etc.), le mot en question est « fléchi », c'est-à-dire se termine par une "désinence" (terminaison) qui permet d'en identifier la fonction.
La "déclinaison" d'un mot est l'ensemble de ces désinences pour tous les "cas" (fonctions du mot) possibles, singulier et pluriel.
Les six cas sont :
Il existe 6 déclinaisons différentes en latin.
Pour savoir si un mot du dictionnaire appartient à l'une ou l'autre, on donne les formes respectives du nominatif singulier et du génitif singulier, puis son genre (masculin, féminin, neutre).
Par exemple on trouvera dans le dictionnaire "flumen, inis, n : cours d'eau, fleuve", il faut comprendre "flumen, fluminis, neutre".
La première déclinaison.
Les noms de la première déclinaison ont le génitif singulier en -ae, et le nominatif singulier en -a. Ces noms doivent être appris sous cette forme : rosa, rosae, la rose, ce qui vous permet de reconnaître la déclinaison à laquelle un nom appartient.
Forme des noms.

Proposition :

Soit "E" un ensemble quelconque, "f" et "g" deux applications de formula_44 et "n" un entier relatif. Les applications "f"+"g", "f"."g" et "n"."f" définies par

appartiennent à formula_44.

Théorème :

Soit "E" un ensemble quelconque. L'application formula_49 qui à une partie "A" de "E" associe l'application caractéristique de "A" est bijective de formula_50 dans formula_51.

Corollaire :

Deux parties "A" et "B" de "E" sont égales si et seulement si leurs applications caractéristiques sont égales.

Propriétés :

Soient "A" et "B" deux parties d'une ensemble quelconque "E". Nous avons les égalités suivantes :

Analyse

Ces pages ont pour but de présenter à des étudiants du niveau du baccalauréat l'analyse, une branche des mathématiques.

Cet ouvrage est encore en chantier, et vous êtes libre de modifier son contenu, ou d'apporter votre contribution.

Table des matières.

Introduction.

L'analyse c'est l'étude des fonctions des équations des applications et de leur proprietes. Mais c'est principalement l’étude des fonctions.

Analyse/Introduction

Qu'est-que l'analyse?

L'analyse est une branche des mathématiques étudiant principalement les fonctions.

Prenons l'exemple d'une voiture équipée d'un chronotachygraphe.

Enregistrant sur un disque, à intervalles réguliers, les positions et la vitesse de déplacement de la voiture, ce compteur est utilisé aux fins de gestion d'une entreprise de transport.

Nous étudions l'enregistrement obtenu au bureau, mais cette fois l'appareil n'a pas bien fonctionné, et il manque le relevé des positions.

Dans ce cas, l'analyse de la vitesse du véhicule nous sera utile.

Si la voiture roulait à une vitesse constante, alors déterminer la position de la voiture à partir de la vitesse serait un simple problème algébrique.

Cependant, tous les automobilistes ne roulent pas à vitesse constante, et la vitesse peut changer instantanément.

L'algèbre ordinaire ne permet pas de répondre à la question, tandis que l'analyse le permet.

En effet, nous pouvons utiliser une fonction qui indique la position de la voiture au cours du temps, et une fonction qui renseigne sur la vitesse de la voiture à chaque instant. Posons nous la question suivante :

Il y a deux ramifications importantes de l'analyse, le calcul différentiel et le calcul intégral.

Le calcul différentiel se propose de trouver des pentes de courbes représentatives des fonctions.

Il s'agit de caractériser ces pentes en calculant une fonction dite "dérivée".

Notamment étudiées par Newton et Leibnitz au 18ème siècle, les fonctions dérivées ont été utilisées bien plus tôt en Asie.

Dans le cas où l'enregistrement de la vitesse ait été défectueux, nous aurions pu découvrir la vitesse "instantanée" du véhicule (enregistrée à l'instant t) en étudiant l'évolution de ses positions.

En revanche, schématiquement, le calcul intégral procède dans l'autre direction : de la vitesse à la position de la voiture de notre exemple.

Il permet, en étudiant les variations de vitesse, de connaître l'évolution de la distance parcourue - c'est à dire de connaître les différentes positions de la voiture au cours du temps.

C'est ainsi que le calcul intégral permet, et c'est un rôle fondamental, de mesurer des grandeurs indirectement (la distance parcourue, dans notre exemple).

Latin

Algèbre linéaire

Latin/Notions préliminaires

Origine et histoire du latin.

Le latin fait partie des langues italiques, groupe intégré dans la grande famille des langues indo-européennes.

Il est à l'origine une des langues parlées en Italie, dans la région du Latium. Les premières inscriptions en latin archaïque datent du VIe siècle av. J.-C. avec l'inscription de Duenos, mais les premiers auteurs connus datent du IIIe siècle av. J.-C.. La période classique est le Ier siècle av. J.-C. et les derniers grands auteurs romains datent du Ve siècle, la chute de Rome étant datée de 476.

Suit alors la période du latin vulgaire, puis le latin médiéval utilisé en particulier par l'Église. Jusqu'au XVIIe siècle, le latin est utilisé comme langue scientifique pour les traités, thèses, etc..

Depuis le latin reste utilisé dans quelques domaines scientifiques, comme la classification des espèces en biologie, ainsi que par le Vatican dont le latin est une langue officielle. Le latin est toujours parlé par quelques personnes (voir par exemple Vicipædia) et un vocabulaire est créé pour les nouveaux mots, par exemple "Computatrum" pour "Ordinateur". Des revues et bandes dessinées existent également en latin.

Alphabet du latin.

Le latin s'écrit globalement avec les mêmes lettres que le français, étant son ancêtre. Il est lui-même issu de l'alphabet grec via les Étrusques. Le latin archaïque comptait 20 lettres et la graphie normale était en majuscules.

À noter également que les lettres J et U (« ramistes » car proposées par Pierre de La Ramée, latinisé en Petrus Ramus, dans sa « Gramere » de 1562) ont été introduites tardivement, au XVIe siècle. Elles permettent de distinguer dans la graphie respectivement les voyelles I et U (prononcé « ou ») des semi-consomnes J et V (prononcé comme le « w » anglo-saxon). Toutefois leur usage n'a jamais été universel, et il semblerait qu'on revienne depuis quelques années aux graphies anciennes par souci d'authenticité.

La lettre K est aussi ancienne que les autres, en revanche le W est postérieur à l'Antiquité.

Prononciation.

En latin, toutes les lettres se prononcent (sauf le "h"). Mais il existe trois manières de prononcer le latin :

Les diphtongues : "au, eu, ae, oe" se prononcent respectivement "aou, éou, aé, oé". Les ligatures æ et œ étaient appliquées avant le retour moderne à la graphie antique, en particulier dans les éditions françaises, mais n'ont jamais été d'usage universel.

Latin/Leçon 1

L'indicatif présent de "sum".

Le verbe sum, "je suis", est tout autant employé en latin que le verbe être en français (mais possède quelques emplois différents) :

La conjugaison de ce verbe est irrégulière.

L'indicatif présent de sum se forme sur le radical es-, altéré à certaines personnes.

Notes :

Désinences personnelles de l'actif.

Tous les verbes latins à la voix active prennent les désinences :

Forme négative du verbe.

Pour conjuguer un verbe latin à la forme négative, on le fait précéder d'un mot négatif : non.

Latin/Leçon 2

= Les déclinaisons =

Le latin est une langue "flexionnelle", comme par exemple l'allemand ou le russe : pour différencier les différentes fonctions d'un mot (sujet, complément d'objet, etc.), le mot en question est « fléchi », c'est-à-dire se termine par une "désinence" (terminaison) qui permet d'en identifier la fonction.

La "déclinaison" d'un mot est l'ensemble de ces désinences pour tous les "cas" (fonctions du mot) possibles, singulier et pluriel.

Les six cas sont :

Il existe 6 déclinaisons différentes en latin.

Pour savoir si un mot du dictionnaire appartient à l'une ou l'autre, on donne les formes respectives du nominatif singulier et du génitif singulier, puis son genre (masculin, féminin, neutre).

Par exemple on trouvera dans le dictionnaire "flumen, inis, n : cours d'eau, fleuve", il faut comprendre "flumen, fluminis, neutre".

La première déclinaison.

Les noms de la première déclinaison ont le génitif singulier en -ae, et le nominatif singulier en -a. Ces noms doivent être appris sous cette forme : rosa, rosae, la rose, ce qui vous permet de reconnaître la déclinaison à laquelle un nom appartient.

Forme des noms.