Kant1/French_Wikibooks_articles · Datasets at Hugging Face

text stringlengths 0 211k
Un ensemble est dit vide s'il n'a aucun élément et nous notons l'ensemble vide formula_18.
Définition d'un ensemble en extension et en compréhension.
Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades, ou en compréhension c'est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments.
La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est de lister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple {1,2} représente l'ensemble dont les éléments sont 1 et 2.
Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d'éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l'ensemble des entiers naturels se définit par : formula_20={0, 1, 2, 3, ...}. Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l'écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l'ensemble {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} s'écrit plus simplement {1, 3, 5..., 21}. Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {entiers pairs} désigne l'ensemble de tous les entiers relatifs multiples de 2.
Il est aussi possible de définir un ensemble par une proposition logique "P" qui dépend de "x". L'ensemble est alors constitué de tous les objets "x" pour lesquels la condition "P" est vraie. Cet ensemble se note {"x" / "P"("x")}. Par exemple, {"x"/x est un nombre réel} désigne l'ensemble des nombre réels formula_28.
Cette notation est appelée « notation de définition d'un ensemble en compréhension ». Quelques variantes de notations de définition d'un ensemble en compréhension sont :
Définition : Égalité de deux ensembles.
Deux ensembles formula_1 et formula_33 sont dits égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments et nous écrivons formula_34. Nous avons
retour à l'algèbre
Sous-ensemble, partie d'un ensemble.
Inclusion.
Définition
Soient formula_1 et formula_33 deux ensembles quelconques. Nous disons que formula_1 est inclus dans formula_33 ou que formula_1 est un sous-ensemble de formula_33 ou encore que formula_1 est une partie de formula_33 si tout élément de formula_1 est un élément de formula_33. Nous écrivons formula_46.Soit : formula_47
Notation
Nous notons formula_49, l'ensemble des parties de l'ensemble formula_1.
Propositions
retour à l'algèbre
Opérations sur les ensembles.
Intersection.
Définition :
Nous appelons intersection de deux ensembles quelconques "E" et "F", l'ensemble des "x" qui appartiennent à la fois à "E" et "F". Cet ensemble se note formula_72, et nous avons
formula_72 se lit « "E" inter "F" ».
Exemple :
Si "A"={2,3,5,9} et "B"={0,2,3}, alors leur intersection, est l'ensemble {2,3}.
Définition :
Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques. "E" et "F" sont dits disjoints, lorsque leur intersection est vide, c'est-à-dire
"Remarque :"
Il ne faut surtout pas confondre "distincts" avec "disjoints". Deux ensembles disjoints n'ont pas d'élément en commun, alors que deux ensembles distincts peuvent en avoir. Pour que deux ensembles soient distincts il faut et il suffit qu'il existe un élément appartenant à l'un mais pas à l'autre.
Réunion.
Définition :
Nous appelons réunion de deux ensembles "E" et "F" l'ensemble des "x" qui appartiennent à "E" ou à "F" (éventuellement les deux). Cet ensemble se note formula_76 et nous avons
formula_76 se lit « "E" union "F" ».
Exemple :
Si "A"={2,3,5,7} et "B"={0,2,3}, alors leur réunion est l'ensemble {0,2,3,5,7}.
Différence.
Définition :
Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques. Nous appelons différence de "E" et "F", l'ensemble des "x" qui appartiennent à "E" mais pas à "F". Cet ensemble se note formula_79 et nous avons
formula_81 se lit « "E" différence "F" ».
Différence symétrique.
Définition :
Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques. Nous appelons différence symétrique de "E" et "F", l'ensemble des "x" qui appartiennent à "E" ou à "F" mais pas au deux à la fois. Cet ensemble se note formula_82 et nous avons
formula_84 se lit « "E" delta "F" ».
Complémentaire.
Définition :
Soient "E" un ensemble quelconque et "A" une partie quelconque de "E". Nous appelons complémentaire de "A" par rapport à "E" (ou de "A" dans "E") ou encore différence de "E" et de "A", l'ensemble des "x" qui appartiennent à "E" mais pas à "A". Cet ensemble se note formula_85 ou formula_86 ou formula_87.
retour à l'algèbre
Propriétés des opérations élémentaires.
Propositions :
Demonstrations :
Propositions :
Soit "E" un ensemble quelconque.
Propriétés de la différence symétrique.
Propositions :
Soit "E" un ensemble quelconque.
retour à l'algèbre
Produit d'ensembles.
Définitions :
Formellement, le couple formula_118 peut être défini ainsi : si formula_70 et formula_120 sont deux objets, alors formula_121.
Cette définition assure en particulier que formula_122.
"Remarque :"
Attention formula_123 en général. Il ne faut surtout pas confondre un couple avec une paire formula_124 pour laquelle nous avons formula_125.
Définitions :
retour à l'algèbre



Algèbre/Fonctions et applications

Dans ce chapitre, nous allons commencer par introduire la notion d'application comme une notion primitive, ensuite nous définirons une application comme une relation. Nous nous intéresserons à des types d'application, à des applications particulières et donnerons leurs propriétés.
Applications.
Définition intuitive d'une application.
Définitions :
Une application, d'un ensemble "E" dans un ensemble "F" (ou de "E" vers "F") est une correspondance, qui à tout élément "x" de "E" associe un et un seul élément "y" de l'ensemble "F". "y" est appelé l'image de "x" par "f" et se note "f"("x"). "x" est un antécédent de "y" par "f".</br>"E" s'appelle l'ensemble de départ ou l'ensemble de définition de "f", et "F" l'ensemble d'arrivée.L'application "f" de "E" dans "F" se note
La partie "G" formée des couples de "E" × "F" de la forme ("x", f("x")) où "x" parcourt l'ensemble "E" s'appelle le graphe de "f". Nous avons donc formula_4
Une représentation graphique de "f" est une représentation du graphe de "f".
L'ensemble des applications de "E" dans "F" se note habituellement formula_5 ou formula_6 ou formula_7.Si "E"="F", l'ensemble des applications de "E" dans "E" se note plus simplement formula_8 ou formula_9 ou formula_10.
"Remarques :"
Définition (égalité des applications):
Deux applications formula_2 et formula_13 sont dites égales si les trois propriétés suivantes sont vérifiées
Application et relation.
Définitions :
Un graphe fonctionnel dans formula_14 est une partie formula_15 de formula_14 telle que pour tout formula_17, il existe au plus un élément formula_18 tel que formula_19.
Une fonction est un triplet formula_20, où formula_15 est un graphe fonctionnel dans formula_14.
Si formula_20 est une fonction, si formula_19, on note formula_25 pour formula_26. On dit alors que formula_27 est "un" antécédent de formula_26 par formula_29, et que formula_26 est l'image de formula_27 par formula_29.
Une application est une fonction telle que tout formula_17 admet une image formula_34.
Exemples d'applications.
Définition :
Soit "E" un ensemble quelconque. L'application identité de "E" (ou application identique de "E") est l'application de "E" dans "E", notée formula_35, définie par
Définition :
Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques. Une application "f" de "E" dans "F" est dite constante s'il existe un élément "a" de "F", tel que pour tout "x" de "E", on ait "f"("x")="a", c'est-à-dire si
Exemples :
Définition :
Soit "A" une partie d'un ensemble quelconque "E". Nous appelons application caractéristique de "A" (ou fonction indicatrice de "A"), l'application de "E" dans {0, 1} notée formula_40 ou définie par
Prolongements et restrictions.
À partir d'une application donnée, nous pouvons créer d'autres applications en remplaçant simplement l'ensemble de départ ou d'arrivée par un sous-ensemble ou un sur-ensemble de cet ensemble.
Restriction d'une application.
Définition :
Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques et "f" une application de "E" dans "F". Soit "E"' une partie de "E". Nous appelons la restriction de "f" à "E"', l'application "g" de "E"' dans "F" qui à tout "x" de "E"' associe "f"("x") i.e. telle que
Cette application "g" est habituellement notée formula_43 (\|"n"\| désigne la valeur absolue de "n")

Un ensemble est dit vide s'il n'a aucun élément et nous notons l'ensemble vide formula_18.

Définition d'un ensemble en extension et en compréhension.

Un ensemble peut être défini en extension, c'est-à-dire en donnant la liste de ses éléments entre accolades, ou en compréhension c'est-à-dire par une propriété caractérisant ses éléments.

La manière la plus simple de décrire un ensemble « fini » est de lister ses éléments entre accolades. L'ensemble est alors défini en extension. Par exemple {1,2} représente l'ensemble dont les éléments sont 1 et 2.

Pour définir en extension un ensemble dont le « nombre » d'éléments est « infini », nous pouvons écrire quelques éléments de cet ensemble suivis de points de suspension. Par exemple, l'ensemble des entiers naturels se définit par : formula_20={0, 1, 2, 3, ...}. Les points de suspension peuvent aussi être utilisés pour abréger l'écriture de la liste des éléments de certains ensembles « finis ». Par exemple l'ensemble {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21} s'écrit plus simplement {1, 3, 5..., 21}. Un abus de notation permet de définir un ensemble en plaçant entre accolades la nature des objets qui lui appartiennent. Par exemple la notation {entiers pairs} désigne l'ensemble de tous les entiers relatifs multiples de 2.

Il est aussi possible de définir un ensemble par une proposition logique "P" qui dépend de "x". L'ensemble est alors constitué de tous les objets "x" pour lesquels la condition "P" est vraie. Cet ensemble se note {"x" / "P"("x")}. Par exemple, {"x"/x est un nombre réel} désigne l'ensemble des nombre réels formula_28.

Cette notation est appelée « notation de définition d'un ensemble en compréhension ». Quelques variantes de notations de définition d'un ensemble en compréhension sont :

Définition : Égalité de deux ensembles.

Deux ensembles formula_1 et formula_33 sont dits égaux s'ils ont exactement les mêmes éléments et nous écrivons formula_34. Nous avons

retour à l'algèbre

Sous-ensemble, partie d'un ensemble.

Inclusion.

Définition

Soient formula_1 et formula_33 deux ensembles quelconques. Nous disons que formula_1 est inclus dans formula_33 ou que formula_1 est un sous-ensemble de formula_33 ou encore que formula_1 est une partie de formula_33 si tout élément de formula_1 est un élément de formula_33. Nous écrivons formula_46.Soit : formula_47

Notation

Nous notons formula_49, l'ensemble des parties de l'ensemble formula_1.

Propositions

retour à l'algèbre

Opérations sur les ensembles.

Intersection.

Définition :

Nous appelons intersection de deux ensembles quelconques "E" et "F", l'ensemble des "x" qui appartiennent à la fois à "E" et "F". Cet ensemble se note formula_72, et nous avons

formula_72 se lit « "E" inter "F" ».

Exemple :

Si "A"={2,3,5,9} et "B"={0,2,3}, alors leur intersection, est l'ensemble {2,3}.

Définition :

Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques. "E" et "F" sont dits disjoints, lorsque leur intersection est vide, c'est-à-dire

"Remarque :"

Il ne faut surtout pas confondre "distincts" avec "disjoints". Deux ensembles disjoints n'ont pas d'élément en commun, alors que deux ensembles distincts peuvent en avoir. Pour que deux ensembles soient distincts il faut et il suffit qu'il existe un élément appartenant à l'un mais pas à l'autre.

Réunion.

Définition :

Nous appelons réunion de deux ensembles "E" et "F" l'ensemble des "x" qui appartiennent à "E" ou à "F" (éventuellement les deux). Cet ensemble se note formula_76 et nous avons

formula_76 se lit « "E" union "F" ».

Exemple :

Si "A"={2,3,5,7} et "B"={0,2,3}, alors leur réunion est l'ensemble {0,2,3,5,7}.

Différence.

Définition :

Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques. Nous appelons différence de "E" et "F", l'ensemble des "x" qui appartiennent à "E" mais pas à "F". Cet ensemble se note formula_79 et nous avons

formula_81 se lit « "E" différence "F" ».

Différence symétrique.

Définition :

Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques. Nous appelons différence symétrique de "E" et "F", l'ensemble des "x" qui appartiennent à "E" ou à "F" mais pas au deux à la fois. Cet ensemble se note formula_82 et nous avons

formula_84 se lit « "E" delta "F" ».

Complémentaire.

Définition :

Soient "E" un ensemble quelconque et "A" une partie quelconque de "E". Nous appelons complémentaire de "A" par rapport à "E" (ou de "A" dans "E") ou encore différence de "E" et de "A", l'ensemble des "x" qui appartiennent à "E" mais pas à "A". Cet ensemble se note formula_85 ou formula_86 ou formula_87.

retour à l'algèbre

Propriétés des opérations élémentaires.

Propositions :

Demonstrations :

Propositions :

Soit "E" un ensemble quelconque.

Propriétés de la différence symétrique.

Propositions :

Soit "E" un ensemble quelconque.

retour à l'algèbre

Produit d'ensembles.

Définitions :

Formellement, le couple formula_118 peut être défini ainsi : si formula_70 et formula_120 sont deux objets, alors formula_121.

Cette définition assure en particulier que formula_122.

"Remarque :"

Attention formula_123 en général. Il ne faut surtout pas confondre un couple avec une paire formula_124 pour laquelle nous avons formula_125.

Définitions :

retour à l'algèbre

Algèbre/Fonctions et applications

Dans ce chapitre, nous allons commencer par introduire la notion d'application comme une notion primitive, ensuite nous définirons une application comme une relation. Nous nous intéresserons à des types d'application, à des applications particulières et donnerons leurs propriétés.

Applications.

Définition intuitive d'une application.

Définitions :

Une application, d'un ensemble "E" dans un ensemble "F" (ou de "E" vers "F") est une correspondance, qui à tout élément "x" de "E" associe un et un seul élément "y" de l'ensemble "F". "y" est appelé l'image de "x" par "f" et se note "f"("x"). "x" est un antécédent de "y" par "f".</br>"E" s'appelle l'ensemble de départ ou l'ensemble de définition de "f", et "F" l'ensemble d'arrivée.L'application "f" de "E" dans "F" se note

La partie "G" formée des couples de "E" × "F" de la forme ("x", f("x")) où "x" parcourt l'ensemble "E" s'appelle le graphe de "f". Nous avons donc formula_4

Une représentation graphique de "f" est une représentation du graphe de "f".

L'ensemble des applications de "E" dans "F" se note habituellement formula_5 ou formula_6 ou formula_7.Si "E"="F", l'ensemble des applications de "E" dans "E" se note plus simplement formula_8 ou formula_9 ou formula_10.

"Remarques :"

Définition (égalité des applications):

Deux applications formula_2 et formula_13 sont dites égales si les trois propriétés suivantes sont vérifiées

Application et relation.

Définitions :

Un graphe fonctionnel dans formula_14 est une partie formula_15 de formula_14 telle que pour tout formula_17, il existe au plus un élément formula_18 tel que formula_19.

Une fonction est un triplet formula_20, où formula_15 est un graphe fonctionnel dans formula_14.

Si formula_20 est une fonction, si formula_19, on note formula_25 pour formula_26. On dit alors que formula_27 est "un" antécédent de formula_26 par formula_29, et que formula_26 est l'image de formula_27 par formula_29.

Une application est une fonction telle que tout formula_17 admet une image formula_34.

Exemples d'applications.

Définition :

Soit "E" un ensemble quelconque. L'application identité de "E" (ou application identique de "E") est l'application de "E" dans "E", notée formula_35, définie par

Définition :

Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques. Une application "f" de "E" dans "F" est dite constante s'il existe un élément "a" de "F", tel que pour tout "x" de "E", on ait "f"("x")="a", c'est-à-dire si

Exemples :

Définition :

Soit "A" une partie d'un ensemble quelconque "E". Nous appelons application caractéristique de "A" (ou fonction indicatrice de "A"), l'application de "E" dans {0, 1} notée formula_40 ou définie par

Prolongements et restrictions.

À partir d'une application donnée, nous pouvons créer d'autres applications en remplaçant simplement l'ensemble de départ ou d'arrivée par un sous-ensemble ou un sur-ensemble de cet ensemble.

Restriction d'une application.

Définition :

Soient "E" et "F" deux ensembles quelconques et "f" une application de "E" dans "F". Soit "E"' une partie de "E". Nous appelons la restriction de "f" à "E"', l'application "g" de "E"' dans "F" qui à tout "x" de "E"' associe "f"("x") i.e. telle que

Cette application "g" est habituellement notée formula_43 (|"n"| désigne la valeur absolue de "n")